File:Academ Platonic icosahedron from its dual.svg

Français : Un dodécaèdre de Platon a douze faces. Une face donnée est adjacente à cinq faces. Cinq plans contiennent ces cinq faces : ils prolongent à l’infini les cinq faces. Les cinq plans se coupent en un point situé sur l’axe de la face donnée, et sur cinq droites qui prolongent cinq arêtes du dodécaèdre. Ainsi, douze points sont créés à partir d’un dodécaèdre de Platon, qui sont douze sommets d’un icosaèdre de Platon. Les deux solides sont appelés des polyèdres duaux. Ici, ils sont concentriques : leurs deux sphères circonscrites ont le même centre. Tous les deux ont trente arêtes. L’un d’eux a autant de faces que l’autre a de sommets : douze ou vingt.

Notée  ${\displaystyle a}$,  la longueur d’une arête de l’icosaèdre est égale à la distance entre deux arêtes opposées du dodécaèdre. Des bandes bleues représentent cette longueur. Deux bandes de même couleur représentent la même longueur. En vert, rouge, bleu et jaune, la succession des quatre longueurs est une suite géométrique de raison φ, le nombre d’or. Des bandes vertes représentent la longueur d’une arête du dodécaèdre.

La direction de la vue est la même dans cette autre image d’un dodécaèdre. La figure résulte d’une projection orthogonale sur un plan. La direction de cette projection est parallèle à une droite passant par deux sommets opposés du dodécaèdre, également parallèle à l’axe commun de deux faces opposées de l’icosaèdre. Donc, la perspective ne déforme pas ces deux faces opposées. Représentés en pointillés, les trois côtés de l’un de ces deux triangles équilatéraux sont masqués en partie par le dodécaèdre. Aucune des arêtes du dodécaèdre n’est en pointillé, ses neuf arêtes cachées ne sont pas représentées. Une autre projection plane transforme dix sommets de l’icosaèdre en dix sommets de décagones réguliers — un décagone régulier donné est soit étoilé, soit convexe —.

Étant donné un polygone régulier convexe ou un polyèdre régulier convexe, on peut construire un nouvel objet régulier en prolongeant tous les côtés du polygone ou toutes les faces du polyèdre, pourvu que les prolongements se coupent. Ce procédé s’appelle “étoiler” l’objet initial. Ainsi nous contruisons cinq côtés d’un pentagone régulier étoilé en prolongeant cinq arêtes vertes du dodécaèdre. Parmi les douze étoiles à cinq branches contenues dans les douze plans des faces du dodécaèdre, seulement deux étoiles sont représentées. Chaque plan d’une face du dodécaèdre contient une telle étoile à cinq branches, dont les sommets sont cinq sommets de l’icosaèdre. En effet, certaines sections planes de l’icosaèdre sont des faces d’un “grand dodécaèdre”, qui a les mêmes arêtes que l’icosaèdre.

Quatre lignes bleues spéciales sont des images rétrécies de quatre côtés d’une telle section, qui est une réplique d’une face du dodécaèdre à l'échelle  φ ²,  ou  (φ + 1).  Représenté par une ligne bleue ordinaire, le cinquième côté du pentagone régulier convexe est en vraie grandeur dans la représentation. De la même façon, quatre lignes vertes spéciales sont des images rétrécies de quatre côtés d’une face du dodécaèdre. La perspective respecte la longueur du cinquième côté.

Quel que soit le sens de la rotation, un tiers de tour autour de l’axe d’une face de l’icosaèdre transforme les deux solides de Platon en eux-mêmes. Le contour de l’icosaèdre est un hexagone régulier. La longueur d’un côté de cet hexagone n’est pas la longueur d’une arête de l’icosaèdre. Mais la perspective représente en vraie grandeur la distance entre deux arêtes opposées, si les deux arêtes sont représentées sur le contour de l’icosaèdre. Cette distance est égale à φ${\displaystyle a}$ : deux arêtes opposées d’un icosaèdre de Platon sont deux petits côtés d’un rectangle d’or.