File:A few patterns of Pythagorean tiling.svg

Français :   traduction adaptée de la précédente description,  en anglais.
L’union d’une infinité de surfaces disjointes peut constituer un papier peint.  Une infinité de formes et de positions sur le papier peint sont possibles pour une surface répétitive.  Par exemple, deux carrés adjacents de tailles différentes du pavage de Pythagore forment ensemble une surface répétitive que vous pouvez imaginer,  dont l’union est le pavage infini de Pythagore.

Dans l’article,  un “ motif ” est un parallélogramme répétitif d’aire minimale, dans une position déterminée sur le papier peint.  L’image montre deux formes de parallélogrammes répétitifs,  dont l’aire est minimale désignée par  a  — un carré est un parallélogramme particulier —,  et des positions possibles de ces surfaces.  Dans le coin en haut à droite,  le carré répété a une position plus intéressante,  à cause de son centre de symétrie par rapport au centre d’un petit élément carré du pavage de Pythagore.

Dans l’image,  tous les motifs répétitifs sont construits à partir de deux translations non parallèles qui laissent inchangé le pavage de Pythagore.  Et les motifs d’aire minimale sont construits à partir de deux translations qui engendrent le groupe de toutes les translations laissant invariant le pavage de Pythagore.  Dans l’image le symbole ${\displaystyle \circ }$ représente la composition des transformations,  et une paire telle que ${\displaystyle \{T,U\}}$ ou bien ${\displaystyle \{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}}$ génère le groupe de toutes les translations qui transforment le pavage de Pythagore en lui‑même.